[ Pobierz całość w formacie PDF ]

wyglądająca własność ma daleko idące konsekwencje.
Pamiętamy z poprzednich rozdziałów, że rozmaitości (czy też przestrzenie różniczkowe lub strukturalne)
definiujemy za pomocą rodzin funkcji, zwanych algebrami funkcyjnymi. Ponieważ mnożenie funkcji jest przemienne,
rodziny te nazywamy algebrami przemiennymi. Przemienności zawdzięczamy różne, dobrze znane właściwości
przestrzeni, na przykład istnienie punktów i ich otoczeń  "funkcje czują punkty". Właściwości te są tak dobrze znane,
że trudno sobie wyobrazić przestrzeń bez punktów. Przestrzeń wręcz definiujemy jako zbiór punktów. Pamiętajmy
jednak, że definicja zależy od nas; zawsze możemy ją zmienić. Bardzo często zmianę wymusza postęp matematyki.
Matematyka rozwija się poprzez uogólnienia i gdy zachodzi potrzeba, pojęcia trzeba uogólniać. Należy to jednak robić
umiejętnie, tak aby nie naruszyć logiki matematycznego rozwoju. Okazuje się, że zastąpienie przemiennych algebr
funkcyjnych nieprzemiennymi otwiera możliwość wielu uogólnień, niektóre z nich są bardzo twórcze. Można już dziś
mówić o nowym dziale matematyki  geometrii nieprzemiennej. Bada ona przestrzenie nieprzemienne. Ale przejście
od algebr przemiennych do nieprzemiennych nie jest banalne. Nowe algebry trzeba dobrać w ten sposób, żeby ich
elementy (odpowiedniki funkcji) nie mnożyły się po punktach. Wówczas bowiem działanie mnożenia byłoby
przemienne i nie otrzymalibyśmy niczego nowego. A zatem nie mogą być to algebry funkcyjne, gdyż one zawsze
mnożą się po punktach. Z tego prostego rozumowania wynika następny wniosek: algebry nieprzemienne w zasadzie
"nie czują" punktów, a w każdym razie "nie czują" ich w zwykły sposób, tak jak robią to funkcje. Istotnie, przestrzenie
nieprzemienne na ogół nie składają się z punktów. Jak widzimy, przestrzenie te mają zaskakujące własności i dzięki
temu są niezwykle interesujące z matematycznego punktu widzenia. Stwarzają także możliwości daleko idących
zastosowań w fizyce, co zapowiadają już pewne osiągnięcia uzyskane za ich pomocą.
Nieprzemienny świat kwantów
Pierwsze sygnały o tym. że nie przemienność ma szansę odegrać ważną rolę w nauce, zawdzięczamy mechanice
kwantowej. Dziś już dobrze wiemy, że świat kwantów odznacza się zupełnie Innymi własnościami niż nasz świat
makroskopowy, ale dla fizyków pierwszych dekad XX stulecia, a tym bardziej dla szerszej publiczności, było to
ogromnym zaskoczeniem. Owe dziwne własności świata kwantów są oczywiście zakodowane w matematycznej
strukturze mechaniki kwantowej. Rzecz jednak w tym, że doświadczenia z niesłychaną precyzją potwierdzają
słuszność tej teorii.
Już sami twórcy mechaniki kwantowej mieli ogromne kłopoty ze zrozumieniem, co się "tam"  w świecie kwantów 
dzieje. %7łeby sobie z rym jakoś poradzić, przyjęli następującą filozofię: Przestańmy w ogóle myśleć o "tam". Nasze
aparaty pomiarowe "tam" nie sięgają, a fizyka jest nauką o tym, co się daje mierzyć, a więc zostawmy "tam" w
spokoju. Możemy tylko mierzyć pewne wielkości w świecie makroskopowym, na przykład widma emitowane przez
atomy lub ślady cząstek w komorze Wilsona, będące następstwem procesów, które zachodzą w mikroskopowym
świecie kwantów. Opiszmy więc te mierzalne wielkości matematycznie i zbudujmy mechanikę kwantową, odwołując
się wyłącznie do lego opisu. Podejście takie propagował Niels Bohr, ale pierwszy urzeczywistnił je Werner
Heisenberg, a potem znacznie rozwinął Paul Dirac. Obiekty matematyczne, za pomocą których opisuje się wielkości
mierzalne (obserwowalne), nazwano obserwablami (obserwablami często nazywa się także same wielkości
mierzalne). Okazało się, że obserwable tworzą algebrę nieprzemienną i że dziwne własności świata kwantów są w
dużej mierze tego następstwem. Dziś wiemy, że matematyczna struktura mechaniki kwantowej to nic innego jak
nieprzemienną algebra obserwabli.
Rozpatrzmy przykład  znane i kiedyś tak mocno dyskutowane relacje nieoznaczoności Heisenberga. Mamy
wyznaczyć położenie i pęd cząstki elementarnej, powiedzmy, elektronu. Mierzymy więc jego położenie, na przykład
zaczernienie na kliszy, ale sam akt pomiaru (zderzenie z kliszą) zaburza położenie elektronu, a więc zmienia jego
pęd. Gdy potem mierzymy pęd elektronu, mierzymy wynik tego zaburzenia.
Wykonajmy teraz to samo doświadczenie, zmieniając kolejność pomiarów. Mierząc pęd, zaburzamy położenie,
wyznaczając potem położenie, mierzymy wielkość tego zaburzenia.
Nic więc dziwnego, że zmierzyć najpierw położenie, a potem pęd to nie to samo, co zmierzyć najpierw pęd, a
następnie położenie  obie sekwencje pomiarów dają inne wyniki. Relacja nieoznaczoności Heisenberga, zgodnie z
którą nie można równocześnie i z dowolną dokładnością wyznaczyć położenia i pędu elektronu, jest prostym
następstwem nieprzemienności mnożenia obserwabli. Nieprzemienność leży więc u podstaw "dziwności" mechaniki
kwantowej. Co więcej, okazuje się, że charakterystyczna dla całej mechaniki kwantowej stała Plancka h = 6,22x10-27
erg s jest niczym innym, jak tylko miarą tej nieprzemienności. Ponieważ wartość stałej Plancka jest bardzo mała (w
porównaniu ze skalą naszego makroskopowego świata), w fizyce klasycznej nieprzemienności nie widać (jej efekty są
praktycznie niemierzalne), ale w świecie kwantów nieprzemienność stanowi cechę dominującą.
O tym wszystkim wiedziano od dawna, od klasycznych prac Heisenberga i Diraca. Przez długi czas nikomu jednak
nie przyszło do głowy, by na nieprzemienność spojrzeć z geometrycznego punktu widzenia. Uczynił to dopiero
francuski matematyk, Alain Connes. Od jego prac wzięła początek bujnie się dziś rozwijająca geometria
nieprzemienną.
Powstanie geometrii nieprzemiennej
Wiemy już, że obserwable mechaniki kwantowej tworzą algebrę, czyli spełniają wszystkie wymagania struktury
matematycznej, zwanej algebrą. Ale przestrzeń w sensie geometrycznym musi mieć oprócz własności algebraicznych
także różniczkowe, to znaczy musi się na niej dać uprawiać rachunek różniczkowy i całkowy; powinny też być na niej
określone przynajmniej najważniejsze obiekty i operacje, z jakimi spotykamy się w zwykłej geometrii różniczkowej, a
wiec pola wektorowe, przeniesienie równolegle, krzywizna itp. Pamiętamy z poprzedniego rozdziału, że wszystkie te
obiekty i operacje można zdefiniować za pomocą algebr funkcji na rozmaitościach. Pomysł Connesa polegał na tym,
by te same konstrukcje wykonać, zastępując algebry funkcji w zasadzie dowolnymi algebrami nieprzemiennymi.
Okazało się to możliwe, choć w realizację tego programu należało włożyć wiele wysiłku i pomysłowości.
Jedna z podstawowych trudności wiązała się z uogólnieniem geometrii przemiennej do nieprzemiennej. Proces
uogólnienia zaczyna się w sposób dosyć naturalny: zastępujemy funkcje elementami algebry nieprzemiennej i
staramy się postępować według reguł, obowiązujących w zwykłej geometrii różniczkowej. Ale co jakiś czas na drodze
tej natrafiamy na rozwidlenia  można pójść w tym lub w innym kierunku i wcale nie wiadomo, czy któryś z nich
doprowadzi do celu, skutecznie ukrywającego się za horyzontem. Wielka matematyczna erudycja Connesa, jego
odwaga i intuicja pozwoliły mu widzieć dalej niż inni. Do przezwyciężenia piętrzących się trudności trzeba było
zaangażować wiele różnych działów matematyki: topologię, teorię miary, geometrię algebraiczną, teorię kohomologii
de Rahma, tzw. K-teorię i wiele innych. Już same te nazwy laika mogą przyprawić o zawrót głowy, ale kryją się za [ Pobierz całość w formacie PDF ]